解説

三角測量

三角形の角にあたる3点のうち2点間の長さがわかっており、その両端から残りの1点との角度がわかれば三角形の各辺の長さは全部わかります。三角形は一つだけでなく、いくつかつながった三角形であっても最初の一辺の長さが正確であれば、あとは角度を測るだけで、すべての辺の長さがわかります。このような三角形の性質を利用する測量を三角測量といいます。

三角測量のために地球上に置かれた不動の位置を三角点といいます。わたしたちが見られる三角点はほとんどが四角い柱石です。にもかかわらず三角点というのは三角測量をするために目印として用いるからで柱石の形状と関係はありません。つぎつぎ置いた三角点を線で結び、いくつもの三角形を網のようにつくります。これを三角網といいますが、三角網で測量しようとする範囲を覆うのです。三角網が鎖状の場合は三角鎖ということもあります。また最初に長さが測られた2点間を基線といいます。基線だけは基線尺という正確な物差しで測っておかなければなりませんが、このあとは角度だけ測れば、いちいち各辺の長さを測らなくても計算で求めることができるのです。三辺の長さが決まれば三角形が描けますから三点の相対的な方向も決まります。三角測量によらなくても点間の長さは直接、物差しではかればいいのですが2点間が長距離であったり途中に山や川、大きな建物など障害物があると測れないことが多いのです。そこで正確にかつ能率よく測量を行うために考え出されたのが三角測量なのです。

基線は数キロメートルの直線で平坦な場所を確保しなければなりません。右の図で三角点AB間を基線として新たな三角点CとDを設置し△ABCと△ABDのそれぞれの内角を測れば各辺の長さと、さらにCD間の距離も求めることができます。実際の三角測量では三角点AとBだけでなくCとDも含め三角形の内角を全部測定して測量誤差をすくなくします。つぎにCD間をあらたな基線としてEF間の距離を求めます。同様に繰り返すと大きな三角形の各辺を測ることができます。ABからCD,CDからEFとだんだん長くなってきますが、これを基線の増大といいます。正確に測定された基線は長い方が全体の誤差は少なくなります。全国測量がはじまるまでの初期の三角測量では基線の増大は行わないで計算により最初に求められた一つの辺長をつぎの基線としてつかわれたこともあります。基線測量については「陸軍の測量」のなかの「基線の設定」に詳しく記述しています。

いままで説明した三角測量では三角網の各辺の長さが分かるだけで三角点の地球上における絶対的な位置である経度と緯度が決まりません。経度と緯度はあわせて経緯度といいます。そこで天文観測により経緯度が正確に求められた原点を定めてこれを出発点として三角測量で求めた辺長から経緯度を算出するのです。この原点を経緯度原点といいます。さらに経緯度の算出には各辺の長さである「辺長」とともに、本来は各辺の「方位」が必要なのですが、原点の方位のみにとどまっています。原点とは別に1点を定め原点から見た真北方向からの方位角を原点方位角としています。

三角網が原点か遠くなるにつれ誤差が累積し「辺長の伸縮」や「方位のねじれ」となって現れます。辺長の伸縮を規正するには適当な場所に新たな基線を設け、ここまで延伸してきた三角網の辺長が新たな基線の長さと調和(一致)しなければならないという条件を与えます。これによって累積された誤差は新旧両基線間の三角点に配分されます。明治中期の陸地測量部の三角測量では基線を200から250キロメートルに一本を設定しました。一方、方位のねじれは原点では天文観測によって定めた原方位から出発していますが、辺長と同様に三角網の適当な場所で各辺の方位を天文観測で定め三角測量による測地方位と一致するという条件をあたえればよいのですが、かなり複雑で陸地測量部では、ねじれの規正を省略しました。しかし第二次大戦後、主要な一等三角点の位置に天測点を設け鉛直線偏差(後述)の測定とともに一等三角網の方位規正という二つの目的のため天文観測により経緯度と隣接する三角点の方位角を求めることをしました。これは測地学の観点から観測されたもので三角点位置の経緯度変更を目的としたものではありません。

日本ではまず三角形の一辺が45キロメートル程度になるよう一等三角点を設置し全国をカバーしました。さらに25キロメートル程度の間隔となるよう一等三角点補点を設置し、さらに細かい三角網をつくるために二等三角点、三等三角点、四等三角点を設置し地形図がつくられました。三角点間の平均距離(辺長)はおおよそ二等で8〜10、三等で3〜4、四等で1.5〜2キロメートルになっています。このように各等三角点は全国に等密度に設置され水平位置の精度は等級にかかわらず、おおむね等しく10センチメートル程度になるよう等級ごとに測角精度が定められています。一等が二等、三等より精度が高いのではありません。一等から二等、二等から三等へと次数が下がるにつれて辺長が短くなるので測定精度を順に落としても座標(経緯度)の正確さは一等三角点なみを保つことができるのです。

三角点は必ずしも山の最高点に置かれるとは限りません。他の三角点が見通しできる位置や地盤の強固な位置が優先されます。また山でなくとも街の道路きわやビルの屋上に置かれたりすることもあります。

近年は長距離用の高精度光波測距儀が開発され1974年(昭和49)頃から測量方式は角度を測定する三角測量から直接、測距儀により距離を測定する三辺測量にかわり、さらにGPS(GNSS)測量などの測量技術が進歩し従来の三角測量が行われることはまずありませんが「三角点」という名称は残っています。のちに説明する水準点などとあわせ位置座標が定められた点を「基準点」とも呼ばれ基準点を設置する測量を「基準点測量」といいます。近年の工業高校の測量の教科書につかわれる用語では「三角点」はまだありますが「三角測量」はなくなり「基準点測量」になっています。測量方法がどのように進歩しても三角点は地球上に位置を特定するため必要不可欠な標識です。

1974年(昭和49)から1985年(昭和60)にかけ「精密測地網一次基準点測量」という形で改測されています。1994年(平成6)からは「高度基準点測量」が実施されています。この測量は一等三角点と二等三角点の一部で構成される約2000点の三角点を全国に設置されている電子基準点を既知点としてGPS(GNSS)測量によって高精度な測地学的位置を求めるものです。この高度基準点測量を5年周期で繰り返し実施することにより日本列島の地殻変動を検出することができ地震予知、火山噴火予知の基礎資料となります。2002年(平成14)には第1回目の測量が終了しています。[国土地理院:三角点の設置と繰り返し測量 「国土地理院時報」100集 2003 p10]

三角点の設置から観測

三角測量は選点した位置を結んで得られる三角網で対象地域を覆いかぶせ、網の結び目に設置した三角点の位置で三角形の内角を測り、三角網の幾何学的条件のすべてを満たすように観測角を調整し、その結果から各辺長を計算し各三角点の座標(経緯度)を定めます。三角測量では基線や測量の結果を確かめる検基線も長さに誤差がないとの仮定が成り立たなければなりません。

三角測量の手順としてまず選点作業があります。これは三角点の位置を決めることで、隣接する既存あるいは設置予定の三角点と視通(見とおし)がきくこと、離隔距離が適当であること(たとえば一等三角点間であれば数十キロメートル)、観測誤差をすくなくするため三角網を構成する三角形は正三角形に近いことなどが条件になります。一等三角点の選点には「探偵器」(探偵机)という面白い名前の道具がつかわれましたが図解により三角点を測板上に投影する器具のようです。一点を選定するのに2週間程度かかったようです。[陸地測量部:三角測量法式草案 1901 p47]

ついで造標作業といい観測台にも観測標的にもなる測標(櫓やぐら)を建設します。円弧上の一点から、おなじ円弧上のほかの点を見通すことができないように地球を完全な回転楕円体とするならば地球上の2点もお互いに直接見通すことはできません。実際の地球上でも地球自身に丸みがあるため遠くの方は地平線下に沈んでしまいます。しかし、山の頂上やある地点に人が立てば、数キロメートル先の地点を見ることができます。沈み込みの量は球差といいますが10キロメートルで7.8メートルになります。また空気中では光が屈折して遠くの頂などは浮き上がって見えます。屈折の量は気差といい大気の状態によって異なります。屈折の度合い(屈折係数)は気差と球差の比(気差/球差)であらわし普通は7分の1程度になります。このようなことから全体の沈み込みの量である両差は球差マイナス気差になり10キロメートル先では両差で6.8メートルの沈下量になります。高さ10メートルから見える範囲は12.2キロメートルになります。なお近年の光波測距儀では測定点の気温、気圧を入力すれば気差は自動的に補正されます。[鈴木弘道 新版山の高さ 古今書院 2002 p54−55]

このように地球上の2点を直接、視通するには、すくなくとも、どちらかの点が地表からある程度高くなければなりません。三角測量ではできるだけ遠くの点まで正確に見るため測標を建てます。障害物の多い場所や高低差の少ない平野部では、どうしても高い測標を建てるか、あるいは見通し範囲内に三角点(求点)の数を増やして対処しなければなりません。測標の設置位置によっては遠方からの材木の運搬や周囲樹木の伐採も必要になります。これにも2週間はかかりました。測標は一年間程度、放置して構造を落着かせることがあります。このあと三角点標石を埋める埋標作業(埋石作業とも)がありますが観測作業後のこともあります。また三角点の位置からどうしても視通できない場合は近傍に偏心点を仮に設置しその位置で観測を行い偏心補正の計算をしなければなりません。

これで準備が整ったわけで、いよいよ観測作業です。天候次第ですが、これも2週間程度を要します。経緯儀や回照器などをつかい1点から平均6方向にある隣接する既存の三角点の位置を観測します。経緯儀をもちいる測量はいつでもできるものではありません。相手の三角点が確実に視野にはいる天候で気温の変化がすくない時間帯でないとできません。朝方、太陽が昇り気温が高くなると空気の密度が不安定になり経緯儀には屈折した光線がはいって相手の像は動揺します。これは炎動(えんどう)といい相手の正しい位置を測量することができず作業を中止します。

一等三角測量では三角点間の距離が長くなることもあり、ある方向は晴天で視準できても他方は良く見えない場合が多くあります。一点から全方向(平均6方向)が明瞭に見えるときは稀です。また、視準する方向が多くなると人員の配置も多くなり容易にできません。そこで可能な範囲から測角をし「測り貯め」をしておく角観測法を採用します。この場合、経緯儀の望遠鏡の誤差を相殺するため鏡胴を反転させ正位と反位により対回(ついかい)観測をしますが測角範囲の重複した部分による角条件ができるので観測角は調整計算をしなければなりません。一方、一点から全方向が天候により視準できる場合は望遠鏡の正位により時計回りで順々に測角し折り返し望遠鏡の反位により反時計回りに順々に対回観測をします。これは方向観測法といわれ二・三等三角測量以下で採用されます。

観測した数値など必要なデータは観測手簿(野帳)に手書きで記録されます。観測した数値には十分な信頼性が必要ですから書き直しができないようにインクで記載されます。

ついで観測値をもとにして計算に移ります。三角網の幾何学的条件は角、辺、点にかかわる条件からなりたち、(1)角条件は三角形の内角の和は180度(球面三角形の場合は補正値が加算)であること、(2)辺条件は基線から出発し基線長と内角から正弦法則によりつぎつぎ各辺長を計算し検基線に結ばせるとき計算値が既知の検基線長に等しいこと、(3)点条件は三角点一点の周りの角を分割して測定しますが、その和は360度であることです。

曲面上の幾何学は球面幾何学とか非ユークリッド幾何学とよばれ球面上に描いた三角形では内角の和は平面上の三角形と異なり180度よりも大きくなります。球面三角形について極端な事例で考えると経度0度と経度90度の2本の経線と赤道で囲まれる北半球の部分は三角形になっています。経線は2本とも赤道と直角に交わっていますから、この2つの内角の和は180度。さらに経度0度と経度90度の線は北極で直角に交わるので、これを足して計270度になります。この三角形の内角の和は270度です。そしてこの三角形の3辺の長さはすべて等しいので、正三角形になります。

一つの球面三角形について二つの角を測れば残った角は
  [180度]+[補正値(球過量)]−[二つの角の和]
になるはずですが測量では角は三点とも測ります。同様に一点の周囲の角の和は360度になるはずです。一等三角測量では一辺が数10キロメートルになるので地球の丸さを勘案して地球上の三角形は球面三角形として取り扱います。一つの角度を0.1秒単位で24対回(計48回)測定し平均をとり内角の和が地球の丸さの影響である球過量を差し引いた後、180度と2秒(補点では3秒)以上違えば再測することになっています。球過量は三角形の一辺の長さ約14キロメートルの場合、約0.5秒、一辺の長さ約40キロメートルでは約8秒になります。[陸地測量部:一等三角測量實行法 下 陸地測量部 1917 p30]

三角形の内角と辺長の関係については三角形の正弦定理(sine formula)があります。平面上の三角形 ABC では辺 BC CA AB の長さを a b c 、外接円の半径を R 、∠A=A ∠B=B ∠C=C とすると

     a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

という正弦定理が成り立ちますが球面上の三角形 ABC では弧 BC CA AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a b c 、∠A=A ∠B=B ∠C=Cとすると

     sin(a)/sinA=sin(b)/sinB=sin(c)/sinC

の関係になり、これを球面三角法における正弦定理といいます。

一等三角測量では地上で観測した角はそのまま、辺長(基線長も)は標高を使用した投影補正を行って、その結果を準拠楕円体上の値と仮定していました。当時は楕円体高が不明であったからです。また辺長が約300キロメートル以下の三角形では楕円体上の三角形と球面上の三角形の内角の差は0.1秒程度のため実用上誤差が無いものとして辺長計算を楕円体面でなく球面上で行いました。

それでも球面三角形の取り扱いは平面三角形の計算に比べて手数がかかるため平面三角法の正弦定理を使用して辺長(球面距離)を求める実用計算法が利用されました。これは球面三角形の各辺長がその球面の半径に比べて微小であるという前提で球過量分に応じて各内角を補正しました。たとえばルジャンドルの定理といわれ、球過量の三分の一を各内角から差し引きする方法もあります。また基線長は球面距離で測定されていますから平面距離に直さず使用しました。計算で得られた辺長も球面距離ですから、これを使用して経緯度を求めました。[陸地測量部:一等三角測量實行法 下 陸地測量部 1917 p26][陸地測量部三角科:測地便覧 昭和14年度版 陸地測量部 1939 p9〜10]

観測結果には必ず誤差が含まれます。そのため位置を決定するにも多数の既知点からの観測を行い誤差を軽減します。三角網全体の三角点での現場作業は終わると、ついで測量結果から所定の計算をし三角点の位置(経緯度)を確定します。観測量と未知量の関係を示した観測方程式から厳密法によるか、あるいは観測量相互間に数学(幾何学)的に成立しなければならない関係を示した条件方程式から簡易法により、三角網全体の最小自乗法による網平均計算をして最も確からしい値を求めます。かつて計算量を少なくするために観測方程式から標定誤差を消去するシュライバーの消去法を用いましたが、地球面上の観測値を網平均計算を行なう平面上の値に変換する計算も必要でありコンピュータの出現まではたいへん労力の要る手作業でした。

三角測量から地形測量

三角測量をくりかえせば三角網図はできますが、そのままでは地形図にはなりません。ついで水準測量で標高を測量しなければなりません。山地や主要道路からはなれたところでは水準測量にかえ三角測量で標高を求めます。これで地形図の骨組みができあがるのですが地形図には山や谷の地形のほか地図の表現対象となる自然物や人工物である道路、鉄道、建物、河川など地上のあらゆる地物を記載する必要があります。このためさらに細かい測量が必要です。これが地形測量で測板測量または平板測量ともいいます。三角点は設置せずに一時的に杭や旗をたてその位置や標高を測量し測板上の図面に写します。とくに等高線は細かく追跡して測量することは不可能な場合が多く要所、要所の標高を押え尾根筋や谷筋などの地形の大筋を示す地性線をたよりに目測で入れます。したがって複雑な地形では等高線の精度が低下しています。以上で測量作業はひととおり終わり工程は平板測量原図の作成、等高線、記号、文字が描かれた印刷原版の作成、地形図の印刷とすすみます。

現在は主として三角測量はGPS(GNSS)測量やトータルステーションによる三辺測量にかわり、また地形(平板)測量は航空(空中)写真測量など高度の測量方法にかわりました。写真測量は現地を歩く必要がなく効率的で経済的なほか平地も山地も均一の精度が得られる長所があります。これを図化機によって地物や等高線を描くと地図の形にはなりますが地名や境界など写真で判断できないものは入らないので従来と同様の現地調査は必要です。現在は印刷技術の進歩と相まって、いっそう精度の高い地形図が作成されています。

前方交会法と後方交会法

三角測量では原則、未知点(求点、座標が不明の点)、既知点(与点、座標が明らかな点)ともすべての三角点位置で測角を行い、未知点の位置(座標)を決定します。しかし許容できる範囲の正確さで迅速に測量を行いたい場合や未知点での測角(観測)が困難な場合は交会法が利用されます。簡易な三角測量としても平板測量としても用いられます。

前方交会法(Forward Intersection)は2ヶ所以上の観測者がいる既知点A,B,・・・(たとえば道路上の複数の点)から観測者がいない未知点P(たとえば遠くの山頂)を視準して測線のなす角度(挟角)を得ます。測線の交点Pを計算または作図によって求めPの位置を決定します。視準方向は既知点から見て前方になります。

後方交会法(Backward Intersection)は3ヶ所以上の観測者がいない既知点J,K,L・・・(たとえば遠くの複数の山頂)の各点を観測者がいる未知点Q(たとえば道路上の1点)から視準して測線のなす角度(挟角)を得ます。測線の交点(出発点)Qを計算または作図によって求めQの位置を決定します。視準方向は既知点から見て後方になります。


■Top of this Home Page
■Next Page