短い基線を一辺とし、他の辺が極めて長い、細長の三角形では辺長の誤差は大きくなります。そのため三角測量で構成される三角形は、できるだけ正三角形に近いことが望ましいのです。測量をしようとする範囲の広さによって、基線の長さや基線をもとに三角点の位置を決めなければなりません。測量の範囲が広大になれば基線は長くとる必要がありますが、実際は平坦な地形が得られなかったり、障害物があったりして容易ではありません。そこで広範囲の三角測量では「基線の増大」という方法が採られます。
三角網と三角点
三角形の角にあたる３点のうち２点間の長さがわかっており、その両端から残りの１点との角度がわかれば、三角形の各辺の長さは全部わかります。三角形は一つだけでなく、いくつかつながった三角形であっても最初の一辺の長さが正確であれば、あとは角度を測るだけで、すべての辺の長さがわかります。このような三角形の性質を利用する測量を三角測量といいます。
三角測量のために、地球表面上に置かれた不動の位置を三角点といいます。三角点には普通、標石が置かれますが、日本で見られる三角点は、ほとんどが四角い柱石です。にもかかわらず三角点というのは三角測量をするために目じるしとして用いるからで、柱石の形状と関係はありません。つぎつぎ置いた三角点を線で結び、いくつもの三角形を網のようにつくります。これを三角網といい、三角網で測量しようとする範囲を覆います。三角網が細長く鎖状の場合は三角鎖ということもあります。また最初に長さが測られた２点間を基線といいます。基線は底線ともいわれます。基線だけは基線尺という正確な物差しで測っておかなければなりませんが、このあとは角度だけ測れば、いちいち各辺の長さを測らなくても計算で求めることができます。三辺の長さが決まれば三角形が描けますから三点の相対的な方向も決まります。三角測量によらなくても点間の長さは直接、物差しではかればいいのですが、２点間が長距離であったり途中に山や川、大きな建物など障害物があると測れないことが多いのです。そこで正確にかつ能率よく測量を行うために考え出されたのが三角測量です。
短い基線を一辺とし、他の辺が極めて長い、細長の三角形では辺長の誤差は大きくなります。そのため三角測量で構成される三角形は、できるだけ正三角形に近いことが望ましいのです。測量をしようとする範囲の広さによって、基線の長さや基線をもとに三角点の位置を決めなければなりません。測量の範囲が広大になれば基線は長くとる必要がありますが、実際は平坦な地形が得られなかったり、障害物があったりして容易ではありません。そこで広範囲の三角測量では「基線の増大」という方法が採られます。
国土全体を覆う一等三角測量では、基線は数キロメートルの直線で平坦な場所を確保しなければなりません。右の図で三角点ＡＢ間を基線として、その両側に基線の長さの２～３倍の位置に新たな三角点ＣとＤを設置し△ＡＢＣと△ＡＢＤのそれぞれの内角を測れば各辺の長さと、さらにＣＤ間の距離も求めることができます。実際の三角測量では三角点ＡとＢだけでなくＣとＤも含め三角形の内角を全部測定して測量誤差をすくなくします。つぎにＣＤ間をあらたな基線としてＥＦ間の距離を求めます。ＣＤ間を第一増大基線（増大辺とも）、ＥＦ間を第二増大基線（２次）といいます。同様に繰り返すと大きな三角形の各辺を測ることができます。ＡＢからＣＤ，ＣＤからＥＦとだんだん長くなってきますが、これを「基線の増大」といいます。ふつうは一等三角点間の長さに適合する第三増大基線（３次）までです。正確に測定された基線は長い方が全体の誤差は少なくなります。全国測量がはじまるまでの地域限定の三角測量では、基線の増大は行わないで、計算により基線以外に最初に求められた一つの辺長をつぎの基線としてつかわれたこともあります。
基線は理論的には１ヶ所でよいのですが、広範囲になると各辺の誤差が増えます。その対策として三角網を複数に分割して範囲を狭くし、それぞれの三角網に基線を設け、一組の三角網の辺長計算の結果が隣接する三角網の基線長に一致（閉合）することを確かめます。このため互いに隣接する三角網に共通な基線や三角網の末端に設けた基線を「検基線」ということがあります。
三角測量は選点された三角点の位置を結んで得られる三角網によって、対象地域を覆いかぶせ、網の結び目に設置した三角点の位置で三角形の内角を測り、三角網の幾何学的条件のすべてを満たすように観測角の誤差を調整し、その結果から各辺長を計算し各三角点の座標である経緯度を定めます。三角測量では基線や測量の結果を確かめる検基線も長さに誤差がないとの仮定が成り立たなければなりません。
いままで説明した三角測量では三角網の各辺の長さが分かるだけで、三角点の地球上における絶対的な位置である経度と緯度が決まりません。経度と緯度はあわせて経緯度といいます。そこで天文観測により経緯度が正確に求められた原点を定めて、これを出発点として三角測量で求めた辺長から経緯度を算出するのです。この原点を経緯度原点といいます。さらに経緯度の算出には各辺の長さである「辺長」とともに、本来は各辺の「方位」が必要なのですが、原点の方位のみにとどまっています。原点とは別に１点を定め、原点から見た真北方向からの方位角を原点方位角としています。
三角網が経緯度原点か遠くなるにつれ、誤差が累積し「辺長の伸縮」や「方位のねじれ」となって現れます。辺長の伸縮を規正するには適当な場所に新たな基線を設け、ここまで延伸してきた三角網の辺長が新たな基線の長さと調和（一致）しなければならないという条件を与えます。これによって累積された誤差は新旧両基線間の三角点に配分されます。明治中期の陸地測量部の三角測量では基線を２００から２５０キロメートルに一本を設定しました。一方、方位のねじれは原点では天文観測によって定めた原方位から出発しています。辺長と同様に三角網の適当な場所で、各辺の方位を天文観測で定め、三角測量による測地方位と一致するという条件をあたえればよいのですが、かなり複雑で陸地測量部では、ねじれの規正を省略しました。しかし第二次大戦後、主要な一等三角点の位置に天測点を設け、鉛直線偏差（後述）の測定とともに、一等三角網の方位規正という二つの目的のため天文観測により経緯度と隣接する三角点の方位角を求めることをしました。これは測地学の観点から観測されたもので、三角点位置の経緯度の修正を目的としたものではありません。
日本ではまず三角形の一辺が４５キロメートル程度になるよう一等三角点を設置し全国をカバーしました。さらに２５キロメートル程度の間隔となるよう一等三角点補点を設置し、さらに細かい三角網をつくるために二等三角点、三等三角点を設置し地形図がつくられました。四等三角点は地形図の作成とはべつに、１９５１年（昭和２６）に制定された国土調査法にもとづく地籍調査のため、大量に設置されました。三角点間の平均距離（辺長）は、おおよそ二等で８～１０、三等で３～４、四等で１．５～２キロメートルになっています。このように各等三角点は全国に等密度に設置され、水平位置の精度は等級にかかわらず、おおむね等しく１０センチメートル程度になるよう等級ごとに測角精度が定められています。一等が二等、三等より精度が高いのではありません。一等から二等、二等から三等へと次数が下がるにつれて辺長が短くなるので測定精度を順に落としても座標（経緯度）の正確さは一等三角点なみを保つことができるのです。
三角点は必ずしも山の最高点に置かれるとは限りません。他の三角点が見通しできる位置や、地盤の強固な位置が優先されます。また山でなくとも、街の道路きわや、ビルの屋上に置かれたりすることもあります。
第二次大戦後は長距離用の高精度光波測距儀が開発され１９７０年（昭和４５）頃から測量方式は角度を測定する三角測量から直接、測距儀により距離を測定する三辺測量にかわり、さらにＧＰＳ（ＧＮＳＳ）測量などの測量技術が進歩し、従来の三角測量が行われることはまずありませんが、「三角点」という名称は残っています。のちに説明する水準点などとあわせ位置座標が定められた点を「基準点」とも呼ばれ、基準点を利用する測量を「基準点測量」といいます。近年の工業高校の測量の教科書につかわれる用語では「三角点」はまだありますが「三角測量」はなくなり「基準点測量」になっています。近年、二等三角点以下の標石が徐々に撤去され廃点になっていますが、ＧＮＮＳの普及により必要性が薄くなったことと、維持していくことが難しくなってきたためです。
三角測量の手順
選点作業は三角測量の最初の手順です。これは、あらかじめ立案された計画にそって三角点の位置を決めることで、隣接する既存、あるいは設置予定の三角点と視通（見とおし）がきくこと、離隔距離が適当であること（たとえば一等三角点間であれば数十キロメートル）、観測誤差をすくなくするため三角網を構成する三角形は正三角形に近いこと、などが条件になります。かつて一等三角点の選点には「探偵器」（探偵机）という面白い名前の道具がつかわれましたが、図解により三角点を平な用紙に投影する測板（平板）のようです。一点を選定するのに２週間程度かかったようです。［陸地測量部：三角測量法式草案 １９０１ ｐ４７］
造標作業は選点につぐ作業で、観測台にも観測標的にもなる測標（櫓「やぐら」とも）を建設します。円弧上の一点から、おなじ円弧上のほかの点を見通すことができないように、地球を完全な回転楕円体（または球体）とするならば、地球上の２点もお互いに直接見通すことはできません。実際の地球上でも、地球自身に丸みがあるため、遠くの方は地平線下に沈んでしまいます。しかし、山の頂上や、平地でも人が立つだけで数キロメートル先の地点を見ることができます。沈み込みの量は球差といいますが１０キロメートルで７．８メートルになります。また空気中では、光が屈折して遠くの頂などは浮き上がって見えます。屈折の量は気差といい大気の状態によって異なります。屈折の度合い（屈折係数）は気差と球差の比（気差／球差）であらわし、普通は７分の１程度になります。このようなことから、全体の沈み込みの量である両差は球差マイナス気差になり１０キロメートル先では両差で６．８メートルの沈下量になります。高さ１０メートルから見える範囲は１２．２キロメートルになります。近年の光波測距儀では測定点の気温、気圧を入力すれば、気差は自動的に補正されます。このように地球上の２点を直接、視通するには、すくなくとも、どちらかの点が地表からある程度高くなければなりません。三角測量では、できるだけ遠くの点まで正確に見るため測標（櫓）を建てます。障害物の多い場所や高低差の少ない平野部では、どうしても高い測標を建てるか、あるいは見通し範囲内に三角点の数を増やして対処しなければなりません。測標の設置位置によっては遠方からの材木の運搬や周囲樹木の伐採も必要になります。これにも２週間はかかりました。測標は一年間程度、放置して構造を落着かせることがあります。［鈴木弘道 新版山の高さ 古今書院 ２００２ ｐ５４－５５］、［寺田寅彦：天災と國防 岩波新書 １９３８ ｐ１０９－１１０］
埋標作業は三角点標石を埋設する作業で埋石作業ともいわれ、造標作業の後に行われますが、観測作業後のこともあります。また三角点の位置からどうしても視通できない場合は、近傍に偏心点を仮に設置し、その位置で観測を行い偏心補正の計算をしなければなりません。
観測作業は選点、造標、埋標の準備作業が終わってから着手します。天候次第ですが、これも２週間程度を要します。経緯儀や回照器などをつかい、１点から平均６方向にある、隣接する既存三角点の方向角を観測します。経緯儀を用いる測量は、いつでもできるものではありません。相手の三角点が確実に視野にはいる天候で、気温の変化がすくない時間帯でないとできません。朝方、太陽が昇り気温が高くなると、空気の密度が不安定になり、経緯儀には屈折した光線がはいって相手の像は動揺します。これは炎動（えんどう）といい、相手の正確な位置の方向角を測量することができず、作業を中止します。一等三角測量では三角点間の距離が長くなり、ある方向は晴天で視準できても、他方は良く見えない場合が多くあります。一点から全方向（平均６方向）が明瞭に見えるときは稀です。また、視準する方向が多くなると人員の配置も多くなり容易にできません。そこで可能な範囲から測角をし「測り貯め」をしておく、角観測法を採用します。この場合、経緯儀の望遠鏡の誤差を相殺するため、鏡胴を反転させ正位と反位により対回（ついかい）観測をしますが、測角範囲の重複した部分による角条件ができるので、観測角は調整計算をしなければなりません。一方、天候によって、一点から全方向が視準できる場合は、望遠鏡の正位により時計回りで順々に測角し、折り返し望遠鏡の反位により反時計回りに順々に対回観測をします。これは二・三等三角測量以下で採用されます。観測結果をできるだけ正確にするため、多数の既知点からの観測を行い誤差を軽減します。観測した数値など必要なデータは観測手簿（野帳）に手書きで記録されます。観測した数値には十分な信頼性が必要ですから、書き直しができないようにインクで記載されます。ついで計算に移りますが角観測の成果を平均して、視準点の一つを零方向（統一した基準）として、ほかの視準点の観測方向角を求めます。このあと平面三角の正弦定理により、概算辺長と既知三角点の諸元によって経緯度の概算もしておきます。以上がおおむね現場で行う作業で外業、現場で行う計算は外業計算といわれます。
内業計算は三角網全体の三角点での外業（現場作業）が終わると、観測値をもとに未知三角点（求点）の位置を確定する計算です。外業計算は概算ですから大きな間違いを点検できますが、そのままでは相当な誤差が含まれ使用できません。そこで計算は、まず三角点で観測した方向角と既知の辺長（基線）から各三角点間の辺長を求め、最終的に未知点の経緯度を算出します。これらを内業計算といい手間のかかる作業です。
ここで球面三角形について説明します。曲面上の幾何学は球面幾何学とか非ユークリッド幾何学とよばれ、球面上に描いた三角形では内角の和は平面上の三角形と異なり、１８０度よりも大きくなります。球面三角形について極端な事例で考えると、経度０度と経度９０度の２本の経線と赤道で囲まれる北半球の部分は三角形になっています。経線は２本とも赤道と直角に交わっていますから、この２つの内角の和は１８０度。さらに経度０度と経度９０度の線は北極で直角に交わるので、これを足して計２７０度になります。この三角形の内角の和は２７０度です。そしてこの三角形の３辺の長さはすべて等しいので、正三角形になります。
一つの球面三角形について二つの角を測れば残った角は：
［１８０度］＋［補正値（球過量）］－［二つの角の和］
になるはずですが、測量では角は三点とも測ります。同様に一点の周囲の角の和は３６０度になるはずです。一等三角測量では一辺が数１０キロメートルになるので、地球の丸さを勘案して地球上の三角形は球面三角形として取り扱います。一つの角度を０．１秒単位で２４対回（計４８回）測定し平均をとり内角の和が地球の丸さの影響である球過量を差し引いた後、１８０度と２秒（補点では３秒）以上違えば再測することになっています。球過量は三角形の一辺の長さ約１４キロメートルの場合、約０．５秒、一辺の長さ約４０キロメートルでは約８秒になります。［陸地測量部：一等三角測量實行法 下 陸地測量部 １９１７ ｐ３０］
三角形の内角と辺長の関係については三角形の正弦定理（sine formula）があります。平面上の三角形 ABC では辺 BC CA AB の長さを a b c 、外接円の半径を R 、∠A=A ∠B=B ∠C=C とすると、
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
という正弦定理が成り立ちますが、球面上の三角形 ABC では弧 BC CA AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a b c 、∠A=A ∠B=B ∠C=Cとすると、
sin(a)/sinA=sin(b)/sinB=sin(c)/sinC
の関係になり、これを球面三角法における正弦定理といいます。
一等三角測量では地上で観測した角はそのまま、辺長（基線長も）は標高を使用した投影補正を行って、その結果を準拠楕円体上の値と仮定していました。初期の測量では、準拠楕円体面から標高の基準となるジオイド面（海水面）までの楕円体高が不明であったからです。また辺長が約３００キロメートル以下の三角形では楕円体上の三角形と球面上の三角形の内角の差は０．１秒程度のため実用上誤差が無いものとして、辺長計算を楕円体面上でなく、球面上で行いました。それでも球面三角形の取り扱いは平面三角形の計算に比べて手数がかかるため、平面三角法の正弦定理を使用して辺長（球面距離）を求める実用計算法が利用されました。これは球面三角形の各辺長が、その球面の半径に比べて微小であるという前提で球過量分に応じて各内角を補正しました。たとえばルジャンドルの定理といわれ、球過量の三分の一を各内角から差し引きする方法もあります。また基線長は球面距離で測定されていますから平面距離に直さず使用し、計算で得られた辺長も球面距離ですから、これを使用して経緯度を求めました。準拠楕円体面において、子午線に沿った長さに相当する子午線曲率半径と、卯酉線（ぼうゆうせん、東西線）に沿った長さに相当する横曲率半径（これらの半径は楕円に内接し子午線に近似した円の曲率半径）から経緯度を求めます。実務としては、緯度をパラメーターとして曲率半径が算出された表を用いました。［陸地測量部：一等三角測量實行法 下 陸地測量部 １９１７ ｐ２６、５３］、［陸地測量部三角科：測地便覧 昭和１４年度版 陸地測量部 １９３９ ｐ９～１０］
観測値には必ず誤差が含まれていますから、最終的に未知点の経緯度は基線を含む三角網全体について最小自乗法（誤差を最小にする近似計算、最小二乗法とも）による網平均計算をして、最も確からしい値（最確値とも）を求めます。最小自乗法は各観測値の補正（修正量とも）の二乗和を最小にする方法です。二乗の項の総和の式を微分し極値（微分した値＝０）を求めて最小値とします。これまで「誤差」という用語をつかってきましたが、誤差は測定値の精度をしめす概念的な指標であって、数学や統計の世界では「真値」（真の値とも）と「測定値」（観測値とも）の差をいいます。真値は「神さまにしかわからない値」といわれており、このことは測定値にはかならず誤差が入り込でいることを表しています。真値がわからないため、合理的な手法で推定した、もっとも確からしい「最確値」を求め、最確値と測定値の差は「残差」といいます。測量の分野では最確値を求める手法として最小自乗法をつかいます。
網平均計算は観測量と未知量の関係を示した観測方程式（厳密法とも）によるか、あるいは観測量相互間に数学（幾何学）的に成立しなければならない条件（関係）を示した条件方程式（簡易法とも）によります。計算量は条件方程式の方が少なくてすみます。いずれにしても、かなり複雑で行列やベクトルなどの知識は必要です。これらの手法は三角測量でも水準測量でも同様です。
手順としては観測方程式による場合は、観測方程式を行列表示し、ついで正規方程式を形成し、これを解いて最小自乗法の解を得ることになります。この過程で逆行列を求める手間のかかる計算をしなければなりません。観測方程式については、かつて計算量を少なくするために、観測方程式に含まれる標定誤差（零方向補正）を消去するシュライバーの消去法が用いられました。
条件方程式による場合は、三角網の角、辺、点にかかわる幾何学的条件などを入れます。この条件とは（１）角条件として三角形の内角の和は１８０度（球面三角形の場合は補正値が加算）であること、（２）辺条件として基線から出発し基線長と内角から正弦法則によりつぎつぎ各辺長を計算し検基線に結ばせるとき計算値が既知の検基線長に等しいこと（基線、検基線長には誤差がないと仮定）、（３）点条件は三角点一点の周りの角を分割して測定しますが、その和は３６０度であることです。測定値と理論値との差は閉合差といいます。ラグランジュの未定係数法を用いて解を求めます。
これらの網平均計算では、乗除の計算にともなう数値の桁数が膨大になるため、一たん対数表で対数に変換し、算盤による加減算を行いました。それにしても網平均計算は、地球面上の観測値を網平均計算を行おうとする平面上の値に変換する計算も必要であり、コンピュータの出現までは、たいへん労力の要る手作業でした。以上は一等三角測量の例ですが低次の三角測量になると順次簡略化されます。［陸地測量部：一等三角測量實行法 陸地測量部 １９１３ 下ｐ１８－５８］
三角測量から地形測量
三角測量をくりかえせば三角網図はできますが、そのままでは地形図にはなりません。ついで水準測量で標高を測量しなければなりません。山地や主要道路からはなれたところでは、水準測量とともに三角測量も併用して標高を求めます。これで地形図の骨組みができあがるのですが、地形図には山や谷の地形のほか地図の表現対象となる自然物や人工物である道路、鉄道、建物、河川など地上のあらゆる地物を記載する必要があります。このため、さらに細かい測量が必要です。これが地形測量で、平板測量（測板測量とも）で行います。地形測量によって地形図をつくることを測図といいます。測図を行うのに必要な基準点は一測板にについて一万分一測図では２０点、二万五千分一では３０点、五万分一では４０点とされています。三角点だけでは不足するので図根点や補点を設けます。これらを一時的に杭や旗をたてその位置や標高を測量し測板上の図面に写します。とくに等高線は細かく追跡して測量することは不可能な場合が多く要所々々の標高を押え尾根筋や谷筋などの地形の大筋を示す地性線をたよりに目測で入れます。したがって複雑な地形では等高線の精度が低下しています。地形測量は細かい作業が多くあり、三角測量にくらべ多くの人手と期間を要します。以上で測量作業はひととおり終わり工程は平板測量原図の作成、等高線、記号、文字が描かれた印刷原版の作成、地形図の印刷とすすみます。［測量・地図百年史編集委員会：測量・地図百年史 日本測量協会 １９７０ ｐ１９５］
現在は主として三角測量はＧＰＳ（ＧＮＳＳ）測量やトータルステーションによる三辺測量にかわり、また地形（平板）測量は航空（空中）写真測量など高度の測量方法にかわりました。写真測量は現地を歩く必要がなく効率的で経済的なほか平地も山地も均一の精度が得られる長所があります。これを図化機によって地物や等高線を描くと地図の形にはなりますが地名や境界など写真で判断できないものは入らないので従来と同様の現地調査は必要です。現在は印刷技術の進歩と相まって、いっそう精度の高い地形図が作成されています。
前方交会法と後方交会法
三角測量では原則、未知点（求点、座標が不明の点）、既知点（与点、座標が明らかな点）ともすべての三角点位置で測角を行い、未知点の位置（座標）を決定します。しかし許容できる範囲の正確さで迅速に測量を行いたい場合や未知点での測角（観測）が困難な場合は交会法が利用されます。簡易な三角測量としても平板測量としても用いられます。
前方交会法（Forward Intersection）は２ヶ所以上の観測者がいる既知点Ａ，Ｂ，・・・（たとえば道路上の複数の点）から観測者がいない未知点Ｐ（たとえば遠くの山頂）を視準して測線のなす角度（挟角）を得ます。測線の交点Ｐを計算または作図によって求めＰの位置を決定します。視準方向は既知点から見て前方になります。伊能忠敬の測量は導線法とよばれ距離を実測し屈曲点では方位を測る方法でしたが、誤差を少なくするために前方交会法を併用し、ときどき遠くの目標物の方位角を数点から測定し方位線が一点で合致することにより確認、修正しました。
後方交会法（Backward Intersection）は３ヶ所以上の観測者がいない既知点Ｊ，Ｋ，Ｌ・・・（たとえば遠くの複数の山頂）の各点を観測者がいる未知点Ｑ（たとえば道路上の１点）から視準して測線のなす角度（挟角）を得ます。測線の交点（出発点）Ｑを計算または作図によって求め、Ｑの位置を決定します。視準方向は既知点から見て後方になります。
三角測量は三角形の基本原理を応用した測量方法ですから、いつから始められたというものではなく、古くから行なわれていたものと思われます。現在いわれている三角測量より以前に三角法を利用した天体の測量が行われていました。ディオプトラ（dioptra）という測角機器で天体の位置を測定しました。 アリスタルコス（Aristarchus ＢＣ３１０頃～ＢＣ２３０頃、サモス島出身のためサモスのアリスタルコスと呼ばれます）は古代ギリシャの天文学者で太陽中心説を最初に唱えたたため「古代のコペルニクス」と呼ばれることもあります。三角法を利用して太陽と月の距離と大きさについて算出しました。またヒッパルコス（Hipparchus ＢＣ１９０頃～ＢＣ１２０頃）も古代ギリシアの天文学者で星座を決定したり恒星を１等星から６等星までの段階に分けたりしました。地球の半径を基線にして地球から月までの距離を測ったと伝えられています。しかし中世になって、三角法が載った文献はオランダの地理学者、数学者フリシウス（Gemma Frisius Regnier １５０８～１５５５、Gemmaはゲンマ、ヘンマとも発音、）が１５３３年に著した「宇宙誌」（Cosmographicus）という天文・地理書であるといわれています。［George Kish：Dictionary of Scientific Biography, C.Scribner's Sons １９７０ ｐ３４９（Frisiusの項目）］
フリシウスの「宇宙誌」はもともと１５２４年、ドイツ（ザクセン）の地理学者、数学者アピアヌス(Petrus Apianus １４９５～１５５２)の著作になるもので、フリシウスはその増補版として自著を追加して出版しました。ラテン語で書かれている稀覯本で実物を置いている図書館は日本では少ないようですが偶然に京都大学基礎物理学研究所湯川記念館史料室でアントワープ１５５０年版（Gemma Frisius: Cosmographia Petri Apiani）が所蔵されていることがわかりました。糸を引っ張れば回転する天文計算盤のついた珍しいもので、地理学者の小川琢治（おがわ・たくじ １８７０～１９４１、京都大学文学部地理学教室の初代教授、のち理学部に地質鉱物学教室を創設）が入手、ご子息、三男の湯川秀樹（ゆかわ・ひでき １９０７～１９８１）の蔵書になったものです。この著書はかなりの名著とされており、復刻版がいまも英国で出版されています。復刻版を調べてみましたが、この書ではアピアヌスは天動説を採用し地球を中心に月、太陽、惑星が回転するとし、また地球は５つの気候帯（Climata Sepetrio）に区分しています。地理に関してはフリシウスが地球上の位置測定、二地点間の距離測定、世界各地の経緯度を記述しています。ラテン語はわかりませんが図やいくつかの単語から察すると三角法を利用した測量と思われるところもあります。［Petri Apiani:Csmographia， Forgotten Books, London ２０１５、ページなし］
１５９０年頃、まだ望遠鏡のなかった時代にデンマークの著名な天文学者ティコ・ブラーエ（Tycho Brahe １５４６～１６０１、１５７２年カシオペア座に現れた超新星Supernovaを発見）は王室の歴史研究家ヴェーデル（Anders S. Vedel)の要請によりデンマークの地図をつくる手始めとしてティコの天文台があるベーン（Hven）島とその周辺で三角測量を行ない基線は天文台の位置ウラニボルグからセントイブ教会までが設定されました。ティコの三角測量はフリシウスの著した方法ですが、地図作成のため実用化した最初といわれています。この三角測量の成果によりオランダの地図製作者ブラウ（Willem Janszoon Blaeu １５７１～１６３８、ブラウ父子の父の方）が１５９６年にベーン島の地図を作成しています。［John Robert Christianson：On Tycho's Island Cambridge University Press ２０００ ｐ１３３］［Victor E.Thoren：The Lord of Uraniborg Cambridge University Press １９９０ ｐ２０８］
オランダの数学者、天文学者スネリウス（Willebrord Snellius １５８０～１６２６、スネルSnellとも呼称、光の屈折の法則n1･sinθ1=n2･sinθ2を発見）はフリシウスの理論も参考にして、オランダで最初の広範囲におよぶ三角測量を１６１５年に行なっています。
まず自宅近くの街の教会尖塔から始まり、ほぼ同じ子午線上にあり１２８キロメートルはなれたアルクマールからベルヘン・オプ・ゾームまで三角網を構成しの距離を求めました。基線はライデンからゾーテルウードまでの約５キロメートルに設定し走行距離計により測定しました。当時の長さの単位はラインランドロッドといわれ１ロッドが３．７６７メートルに相当します。また観測はウイレム・ブラウが製作した２１０センチメートルの象限儀が使われました。１５９５年にティコ・ブラーエの天文台があるデンマークのベーン島に滞在していたウイレム・ブラウが三角測量について、後にスネルに伝授したともいわれています。スネルはこの結果から子午線一度の長さを算出しましたが三角測量の精度が悪く３パーセント程度の誤差があったようです。［Ｋ．ファン・ベルケル、塚原東吾訳：オランダ科学史 朝倉書店 ２０００ ｐ２０］［エリ・マオール、好田順治訳：素晴らしい三角法の世界 青土社 １９９９ ｐ１３０］
その後、フランスの天文学者、ピカール（Jean Picard １６２０～１６８２）やカッシーニ親子（親 Giovanni Domenico Cassini １６２５～１７１２ イタリア生まれ、子 Jacques Cassini、１６７７～１７５６）が広範囲の三角測量をおこなっています。
日本では三角術を応用した「規矩術」が１７世紀半ばにオランダから伝来しましたが、江戸時代の測量では伊能忠敬（いのう・ただたか １７４５～１８１８）による測量でも方位と距離による「導線法」が主でありヨーロッパで１８世紀、既に実施されていた三角測量を採用したものではありません。正確な基線を設け既知点からも未知点からも測角をするという本格的な三角測量は明治維新後お雇い外国人の指導によりはじまりました。
三角測量によって子午線長を算出したスネリウスはオランダのライデンに生まれ、１６１３年ライデン大学（Universiteit Leiden）の数学科教授になりました。スネリウスの父親ルドルフ（Rudolph Snellius １５４６～１６１３）も同大学の教授でした。２０１６年５月に、わたしはライデンでスネリウスの足跡を訪ねました。
スネリウスの住居跡の建物はライデン大学本部の東、徒歩１０分のところにあるドゥザーストラート（Doezastraat 2a）にあり、現在は託児所としてつかわれています。１６１５年、この位置を基点として近傍の測角をした記念プレートが外壁に埋め込まれています。プレートには「後方交会法」による実測図が表されています。後方交会法は三つの既知点に対して未知点からの角度を測定して未知点の位置を決定する方法です。この方法はスネリウスにより数学的に証明され、スネリウス・ポテノーの問題（Snellius-Pothnot Problem）といわれています。ポテノー（Laurent Pothenot １６５０～１７３２）はフランスの数学者ですがスネリウスとは別に証明しています。
またライデン中央駅から約２キロメートルの北西にあるバイオサイエンス・パーク西端のニールス・ボアー通り（Niels Bohrweg）にはスネリウス・ゲバウ（Snellius Gebouw）と名称がつけられたライデン大学の数学系研究所があります。近傍の道路にはマックス・プランク通り（Max Planckweg）、アインシュタイン通り（Einsteinweg）などと著名な科学者の名前がついています。なおスネリウスが使用したとされる観測用四分儀がライデンのブールハーフェ博物館（Museum Boerhaave）にありますが建屋改造中につき見られませんでした。
ライデンは街全体が大学です。ライデン市民は１５７３年から翌年にかけスペイン軍と戦い、籠城、飢えに悩まされましたが、遂に水門を破壊しスペイン軍を水攻めにして退却させました。領主はライデン市民の功をたたえ何年か免税にしようとしましたが、市民はそれよりも大学をつくってほしいと申し出てライデン大学が創設されました。日本でいえば明治初年、戊辰戦争に敗れた長岡藩の教育を重視した「米百俵」の精神です。このような経緯があってか、大学と市民は一体になっていることが感じられます。。［司馬遼太郎：街道をゆく オランダ紀行 朝日文庫 ２００９ ｐ７８］
国土地理院測地部に問い合わせたところ「三角点」（三角点がもつ座標値を含む）は慣例的にtriangulation pointの表記がつかわれています。三角点も含む「基準点」はcontrol point といいますが一般にはsurvey markerのほうが通用するようです。
（例）一等三角点---- first order triangulation point
二等三角点---- second order triangulation point
国土地理院の旧組織である陸地測量部の昭和初期の資料では trigonometrical point に、米国の地学協会 American Geological Institute の用語集では triangulation station または trigonometric point（略して trig point）になっています。米国の三角点の標識には Geological Survey Bench Mark の刻字が入っているのもありますが、これは標高をあらわす水準点としても共用しているのでしょう。英国の測量局 Ordnance Survey の資料では triangulation station です。また、わたしの手元にある英国が測量したタンザニア政府１９６５年発行のキリマンジャロの地図にはtrigonometrical station の表示がありました。ちなみに、フランス語では point trigonométrique、ドイツ語では Trigonometrischer Punkt です。 各国、いろいろ言い方はあるようでが、日本でも明治初期には「三角点」のかわりに「測点」がつかわれていました。
