直接水準測量と間接水準測量

三角測量が地球上の経緯度（度・分・秒）で表す水平位置を求める測量であるのに対し、水準測量は標高（メートル）で表わす鉛直位置を求める測量です。水準測量で直接水準測量といわれている方法は、短い距離（数十メートル）の２地点に標尺（スタッフ）をたてて、中間に水平に設置した水準儀（レベル）により標尺を読みます。既知点（Ａ地点）の標尺の読みｈ１を後視、未知点（Ｂ地点）の標尺の読みｈ２を前視といいます。視準の順序は水準儀の種類によって後視、前視の順、あるいは後視、前視、前視、後視の順で行うので、前視、後視の「前、後」の語は作業の進行方向とは無関係です。前視、後視の差から高低差ｈ１－ｈ２をもとめることを繰り返します。水準儀を標尺間の中間位置に置くと水準儀の視準線が厳密な水平になっていなくても前視、後視で誤差が相殺されます。直接水準測量は尺取虫といわれるように、繰り返し測量するため低能率なのですが、１０分の１ミリメートルまでの、きわめて正確な標高値が求められています。一等水準測量では水準儀と標尺間の視準距離は最大５０メートルとされ、観測精度は２．５ｍｍ√Ｓ（Ｓは片道の路線距離）、１キロメートルの距離で２．５ミリメートルに相当します。この直接水準測量は主に道路上などの水準路線で用いられる方法で、約２キロメートル間隔で水準点が設置されます。［国土地理院：国土地理院時報　１００　国土地理院　２００３　ｐ３］

一方、山頂にある三角点などの標高を求めるには直接水準測量では非能率であることと、厳密な精度を要さないこともあり、この場合は間接水準測量といい、三角測量を応用した高度角測定法がとられます。具体的には二点間の距離と鉛直角を用いて計算によって標高差を求めます。水準測量では実際は地球が丸いことや、地球の中心と重力の中心が異なることから視準点の高さによる補正や鉛直線偏差による補正をしなければならないので、右の図のように簡単には表せません。国土地理院の「精密測地網二次基準点測量作業規程」によれば、三角点の標高について目標精度は５センチメートルになっていますが、これは２点間の比高測定の相対的精度であって、三角点の標高値としては１０～２０センチメートル程度の誤差はあります。［国土地理院：日本の山岳標高一覧　日本地図センター　１９９１ ｐ１２７］

三角点と水準点のちがい

三角点は水平位置の基準になる点ですが、水準点は標高の基準になる点で、やはり標石や金属標があります。主な国道や地方道にそって約２キロメートルごとに設置し、水準路線という観測のための路線を構成し、その位置での標高を水準儀（レベル）で正確に測られています。水準点には一等、二等、三等の種類があり全国で約２万点あります。設置目的などによる分類では一～三等のほかに基準、道路、準基準、交差点、渡海、験潮場附属、無号・固定点などの水準点があり、点の記や成果表に記載されています。

三角点の標高は標石の＋の窪んだところではなく、平らな上面を標高値とします。水準点の標石は三角点と異なり上面中央が球分体（半球状）になっています。この頂点（バーテックスVertex、最高点）に標尺（スタッフ）をのせ観測するので、頂点が水準点の標高値をあらわします。測量の際に標石と標尺底面と接する面積を小さくすることで、標尺の設置位置による誤差を小さくしているわけです。球分体が欠けている場合は正確な値を求めることはできませんが、平らな上面で代用し球分体の高さ１２ミリメートルを差し引けば、おおよその値になります。金属標の場合も円弧の頂上部が標高値です。

三角点の水平位置は極めて正確に求められており、標高も測ってあります。しかし標高は水準点にくらべて精度が落ちます。水準点も水平位置の座標（経緯度）が求められていますが、測量による厳密なものは少なく、地形図から座標を読み取ったものです。したがって水平位置の基準（三角点や図根点と同等）としてはつかえません。

水準点が標石の場合は周囲に保護石を置いたり、市街地や道路わきに設置する場合には地中に埋設されることがあります。地中に埋設された場合は石や金属などの蓋石（がいせき）で保護されます。水準点標石には三角点標石のように盤石がありません。三角点の盤石は柱石が万一消失したときに、復元するためにあります。水準点の場合は０．１ミリメートルまでの精度で標高値が定まっているため、標石に異常があった場合は技術的に復元ができません。このような場合は前後の水準点を既知点として、あらたな測量が必要になります。盤石はありませんが、基礎は強固にできており標準では地下１メートルのところに６０センチメートル四方、厚さ３６センチメートルのコンクリート基礎に標石の根元を埋めます。

初期の三角測量では三角点の標高は測量（算出）しなかったのです。日本アルプスの父といわれるイギリスの登山家、宣教師ウエストン（Walter Weston １８６１～１９４０）の著書にはつぎのように書かれています。

"I found the damaged surveyor resting after his accident. From his account of his climb I gathered my own was likely to be interesting. When I asked him about the altitude of Hodakayama, he ccould tell me nothing -- he had only been using thodolite and compass, and a mercurial barometer or aneroid was not included in his equipment." ［Walter Weston:Mountaineering and Exploration in the Japanese Alps. John Murrray, London １８９６　ｐ１７７］

「例の負傷した測量技師が予後の静養にきているのに出会った。その経験談を聞いてみると、こちらも少しは愉快な登山ができそうな気がしてきた。穂高山の高さを尋ねてみたが、彼は知らなかった－－彼は羅針儀（コンパス）と経緯儀（セオドライト）を使っただけで、水銀気圧計とかアネロイド気圧計などは携帯していなかったのである。」［ウエストン、青木訳：日本アルプスの登山と探検　岩波　１９９７　ｐ１８６］

ここに登場する測量技師は館潔彦（たて・きよひこ　１８４９～１９２７）測量師でウエストンと出会った２週間まえに前穂高岳で墜落負傷しました。時期は点の記から１８９３年（明治２６）８月のことと推察されます。しかし１９１７年（大正６）に定められた三角測量のマニュアル「一等三角測量實行法」では、「三角點ヲ撰定セルトキハ空盒気壓計ヲ以テ其概高ヲ測ル可シ」になっています。［陸地測量部　一等三角測量實行法　１９１７　ｐ１４］

気圧計（バロメーター　Barometer）は、おおよその高さを簡単に測るために、つかわれますが、海面上では高さ８メートルにつき１ヘクトパスカル低くなります。高さ目盛りのある気圧計を標高が既知の地点で合わせておけば、１０メートル程度の精度で直接、標高を知ることができます。三角測量で三角点の標高を測定しなかったのは一等三角点の測量をしていた、ごく初期の時代で二、三等三角点が未設置の状態では標高を求めるには無理があったからです。

三角点が地球上の水平位置を表す基準点であるのに対し、水準点は鉛直位置を表す基準点です。別々に設置されているのは歴史的背景や用途があるものの、現在は三次元で位置が求められるＧＰＳ測量が登場しており、各国でも三次元基準点が検討はされているようです。しかしＧＰＳ測量だけでは標高の概念が現在と大きく変わるので実現は難しいようです。［大久保修平：地球が丸いってほんとうですか　朝日新聞社　２００４　ｐ８６］

三角点の標高の求め方

地図をつくるには、まず三角測量により位置を決定します。はじめは一等三角点網が設定されますから、三角点間の距離は４０キロメートル程度のこともあります。これだけの遠距離になると地球の丸みや光の屈折により誤差は大きくなり間接水準測量である高度角測定法（垂直面での三角測量）と計算だけで一等三角点の正確な標高を求めることは無理があります。

そこで正確な一等三角点の標高は、隣接三角点間の距離が短い二等、三等三角点が設置されてから後に、これらを利用して求めることになります。まず直接水準測量が可能な二等、三等三角点の標高を最寄の水準点から求めます。その後、高度角測定法によって順次、三角点の標高を決定します。三角測量の水平角観測では経緯儀で測標（櫓）の頂点に打った釘を視準しますが、高度角測定法では測標の４本柱の間に取り付けた覆板（ふくはん、横板のこと）の下辺を視準します。測標を設置する際には、４枚の覆板の下辺は同じ高さになるようにし、三角点標石の上面からの高さを測ります。実際は標石埋設は測標設置よりも後になるのが普通ですから、測標の斜柱上に仮定点を設け覆板下辺までの高さを測っておき、標石の埋設後、標石上面から仮定点までの高さを測り、標石上面から覆板下辺までの高さを求めます。このように三角点の標高を求める測量を測標水準測量といいます。［陸地測量部：三角測量法式草案　１９０１　ｐ３２０］

２点を既知点とする測量で標高を定めたのを一次点（Ⅰ）、２ヶ所の一次点から定めたものを二次点（Ⅱ）といい、以下同様です。一般に低所にある三角点のほうが次数が少なく、高所の三角点が次数が多くなります。そのため標高の精度も低所よりも高所の三角点が悪いといえます。高度角測量でつぎつぎ三角点の標高を決めていくと、誤差が累積されるので、四次点（Ⅳ）が限度のようです。三等三角点ではすべての三角点が直接水準測量で決めた点から数えて８番目以内に収まっています。

三角点の標高を定めるための、もととなる水準点はかつては二等水準点として設置されました。もともと道路に沿った二等水準点は１９０６年（明治３９）までは標石を埋設せずに標杭や神社の石垣が利用されました。いずれにしても初期のことであり、現行の二等水準点は１９６５年（昭和４０）から一等水準点とおなじく主要道路に沿い設置され使用目的がかわりました。

標高は地形図では四捨五入して１０センチメートルの桁まで表示されています。二十万分一地勢図ではメートルの桁まで整数表示されます。ただし１９６０年代の五万分一地形図では整数表示されていたこともあります。また２００２年（平成１４）３月末までの基準点成果表にはふつう小数以下２桁（センチメートル単位）で記載され測標水準測量の場合は小数以下３桁（ミリメートル単位）になっていましたが（大阪城、筑波原点、御苑などの例）現在その区別はありません。いずれにしても三角点の標高値は水準点ほどの精度はありません。

三角点の標高は明治時代の測量で決定されて以来、改測がされても従来の三角点の成果と大きく違わなければ改訂されていません。一、二等だけ改測して三等をしない場合、前者のみ更新すれば三角点相互の関係が崩れるからです。どちらが高いといえなくなります。しかし近年、ＧＰＳや重力観測などの新しい測量技術に合致した成果値に改定されつつあります。２００８年（平成２０）には北海道全域が、また翌年には紀伊半島地域が改定されています。新しい標高は電子基準点や水準点の標高成果と整合させた成果値です。

標高の基準・ジオイド

日本の標高は現行では東京湾の平均海面を標高ゼロメートルとした基準からの高さです。実用上は標高２４．３９メートルの日本水準原点が基準原点になり、測量法第１１条で定まっており明治以来、変更はありません。基準は社会の約束ごとであり各国によって異なっています。地球表面の大陸には、おおくの山が連なる「大山脈」があり一方、海洋には深さ６千メートル超えるを細長い海の溝である「海溝」、平坦な「海洋底」、山脈のような「海嶺」、弓のような弧状の列島である「島弧」などがありますが、地球表面の約７０パーセントの面積を占める海面は地表面にくらべて凹凸がすくなく、球に近い面をつくっています。この面は地球の平均的な形を表すと考えられます。全地球的な平均海面を陸地に延長したと仮定すると地球は連続した海面で覆われることになります。この仮想的な平均海面を測地学ではジオイドといいます。「平均海面を陸地に延長した」というところが少々難解ですが、かりに山の下までずっとトンネルを掘って、海水を導入したときの高さがジオイドなのです。ジオイド（geoid）とは地球に似た形という意味です。

「水は高所から低所に流れる」ことは当たりまえです。重力があるから引っ張られるのです。このことはニュートンの「林檎が樹から落ちる」理屈も同じです。重力は地球上どこにもありますが、その値は地球の位置によって異なっています。ジオイドは本来、地球の重力が同じところを結んだ面（等重力ポテンシャル面）ですからこの面では水はどちらにも流れません。ジオイドは海面に近い面ですが、大きな山の下などでは引力の影響をうけるので平均海面とは微妙に異なります。日本では東京湾の平均海面がジオイドと一致するものとし標高の基準面に定めています。

標高をジオイド面からの高さと定義しておけば「水は高所から低所に流れる」という常識が覆されることはありません。国土地理院の地形図や成果表にある標高もジオイド面から地表までの高さです。測地学では正標高（Orthometric hight）といいます。ついでながら成果表に見られるジオイド高というのは地球楕円体（地球を回転楕円体としてモデル化した形状）の表面からジオイドまでの高さです。したがって回転楕円体の上の高さである楕円体高（Ellipsoidal hight）は　楕円体高＝ジオイド高＋標高　になります。地球規模で見るとジオイドは地球楕円体より１００メートル程度低いところから、１００メートル程度高いところまであって凸凹しており、理想的な回転楕円体よりも、すこしひずんでいます。

直接水準測量で決めた高さは楕円体面でなくジオイドからの高さです。直接水準測量は水準儀をおいた観測点をとおる同じ高さの水平面からのずれ（比高）を決めるもので、水平面はジオイドに平行ですから、これで求めた高さは、どこでもジオイドからのへだたりになっています。しかし広範囲の水準測量では地球の自転による遠心力や局所的な地殻構造によって水平面がジオイドに平行にならない場合があり、厳密には重力などによる補正が必要です。一方、間接水準測量の場合は三角測量の高度角観測によって標高を決定します。しかし観測地点での鉛直線の方向が厳密に地球の中心を示さず質量の大きい側にわずかに傾いており鉛直線偏差が生じているので補正をする必要があります。さらにジオイドの凹凸の分の補正もいります。実際はこれらの補正は省略しており理論的厳密さに欠けています。［鈴木弘道：山の高さ　日本測量協会　１９９３　ｐ１９０］［小白井亮一：測量技術読本　行列で最小二乗法を理解しよう　山海堂　２００７　ｐ１７４］

ＧＮＳＳ（ＧＰＳ）測量では、まず地球の重心を原点０にとった「地心直交座標系」(地球重力系とも)で位置ぎめをします。原点０で互いに直交するＸ・Ｙ・Ｚの３つの軸をもつ座標系のことで、Ｘ、Ｙ、Ｚの位置を測って数学的に整った回転楕円体の上の高さを計算します。これを「楕円体高」いいます。ＧＰＳ測量では海面やジオイドとは無関係に高さを計算するのでジオイドから測った「標高」は求まりません。ＧＮＳＳ測量によってわかる高さは標高でなく楕円体高になります。標高を知るためにはジオイド高が必要です。

ジオイドは重力がつくる等ポテンシャル面のひとつです。したがって地球表面全体での重力の分布が分かればジオイドの形を決めることができ、面的に決定される形は，ジオイドモデルと呼ばれます。かつて日本では標高の測定に際し、重力の補正は簡易におこなわれ、観測点の実測重力値のかわりに準拠楕円体によるモデルの値が採用され、求められた高さは「正規正標高」と呼ばれていました。

第二次大戦後は約４５０点の三角点の位置（一部天測点を設置）で天文観測を実施して、天文経緯度と鉛直線偏差を算出して天文ジオイドモデルを作成しました。天文経緯度と測地経緯度の差は鉛直線偏差であり、鉛直線偏差は観測点でのジオイド面と楕円体面との傾きを表しています。しかし天文ジオイドモデルは陸域に限られます。近年は重力計の発達や人工衛星によって宇宙で測った重力データなどにより全国的に高密度で重力値が観測できるようになり。重力異常データからストークス積分によりジオイド高が計算できます。このようにして重力ジオイドモデルが決定されます。その結果、２００２年（平成１４）には「測量成果２０００」が公表されて一層、厳密な標高が得られるようになりました。標準偏差、約４センチメートルの精度で構築されています。［国土地理院：国土地理院時報　第１００集　日本測量協会　２００３　ｐ２３］

現在、国土地理院が行っているジオイド測量はＧＮＳＳ測量と水準測量によってジオイド高を求める方法が主流になってきています。地球上の特定された地点のジオイド高は、その地点でＧＮＳＳ測量により求めた楕円体高と同一地点で、水準測量により求めた標高との差になります。実際は全国各地の標高が既知の水準点でＧＮＳＳ測量を行ったり、または楕円体高が既知の電子基準点で水準測量を行いジオイド高を求めています。未知点の標高の算出はＧＮＳＳ測量により求められた楕円体高から「日本のジオイド２０００」（ジオイドマップ）のメッシュ・ファイルをもとにしたジオイド高を差し引いた値としています。

国土地理院では２０２４年を目標としてＧＮＳＳ測量で正確な標高がすぐに分かる、新たな水準測量のシステムを構築しています。これによって新たな標高体系へ移行する予定です。まず標高を算出するために必要となる重力データを航空機で効率的に計測します。そのうえで測定したい位置にＧＰＳ受信機を持ち込み、近傍の電子基準点でのデータも加味し位置を求めます。ついで航空機で測定した重力データをもとにした補正情報を加え正確な標高を迅速に計測します。［日本経済新聞：土地標高測定脱人海戦術「日本経済新聞」２０１８．２．３　３８面］

地形図には必ず標高の説明がついています。わたしの手元にある地形図の例ではつぎのとおりになっています。

明治２２年測量、明治２５年出版　二万分一「京都」（假製図）
　「高程ハ大阪灣ノ中等潮位ヨリ起算シ米突ヲ以テ之ヲ示ス」　米突はメートルのことです。
明治４２年測量、大正元年発行　二万分一「京都北部」（正式図）
　「高程ハ東京灣ノ中等潮位ヨリ起算シ米突ヲ以テ之ヲ示ス」　この地図から現行の三角点や水準点の記号が採用されました。
大正２年測圖、大正３年発行　五万分一「京都東北部」
　「高程ハ東京灣ノ中等潮位ヨリ起算シ米突ヲ以テ示ス」
昭和２５年応急修正、昭和２６年発行　五万分一「京都東北部」
平成５年修正　平成６年発行　五万分一「京都東北部」ともに
　「高さの基準は東京湾の平均海面」

日本の一等水準測量は参謀本部測量課により１８８３年（明治１６）に東京周辺から開始され、その後、全国に拡大され１９１３年（大正２）に第１回測量をほぼ完了しています。上の例の場合二万分一地形図「京都」の測量された１８８９年（明治２２）当時は関西では東京湾の中等潮位基準による標高の決定がまだできなかった状態でとりあえず大阪湾の中等潮位基準で高さを決めておき同一水準点の東京基準での標高が決まったところで、すべてを修正することにしたと思われます。当時の中等潮位の測量は現地の海浜から１００メートル先の海底に海潮尺を立て満潮と干潮の高さの中数をとりました。［測量・地図百年史編集委員会：測量・地図百年史　日本測量協会　１９７０　ｐ９１、１６９］

日本各地の平均海面はすべて同じではありません。地球の自転による見かけの力（コリオリの力）により日本海側は太平洋側に対して１０～２５センチメートル高く北海道は東京湾に対して３～１９センチメートル高く九州、四国南・西部は東京湾に対して５～７センチメートル低くなっています。また気圧や海流などの影響によっても各地の海面に高低が生じます。［日本地図センター：地形図に用いられる「高さの基準」（３）「月間ＪＭＣニュース」　日本地図センター　Ｎｏ．３７　２００１．１０　ｐ１］

日本水準原点を出発点とした全国の水準測量は同時期に一斉に実行することはできず、一巡するのに１０年程度要しています。測量成果では、大規模な地殻変動はべつとして、その間約１０年の定常的な地殻変動は考慮されていません。スタティック標高系ともいわれます。一方、「公共測量作業規程」の準則に定められたＧＮＳＳによる測位では地殻変動を含めた標高になっておりセミ・ダイナミック標高系ともいわれています。このように日本の標高は二重の基準になってます。［中根勝見・松坂茂：日本における高さの課題「測地学会誌」第６５巻　日本測地学会　２０２０　ｐ１４－１５］

世界各国ではそれぞれ個別に標高の基準（水準原点）を決めています。国によっては複数の観測地点での平均海面を基準にしているところもあります。かつて米国では各所で異なっていた基準を１９９０年代にあらため、カナダのケベックにある験潮場を北米の水準原点としました。ヨーロッパ北部各国では北海に面したオランダ、アムステルダムの水準原点に統一されています。フランスは東部の地域を除き地中海に面したマルセーユの水準原点です。

「標高」の替わりに「海抜」が用いられることがあります。海抜の意味は文字どおり「海を抜きんでる」ことですが、近隣の海、たとえば大阪湾など、からおおよその高さを表すときにに使われます。しかし国内のほとんどの地域は標高と同義に扱っています。この場合、数値は同じになりますが、津波や高潮の注意喚起であれば「海」の文字のあるほうが一般に分かりやすいため「海抜」が使われています。