地図と投影法

地図の定義と最古の世界図

測量の最終成果は地図になります。ここでは地図の定義、投影法について説明します。地図に関しては測量に関するものよりも、はるかに多くのまとまった情報、文献があります。ここでは地図についての概要にとどめます。

地図の厳密な定義はありませんが辞書などには、つぎのように記されています。「地表の諸現象を、それぞれの目的に応じて取捨選択し、主として平面上に表現した図 」[新村出編:広辞苑 三版 岩波書店 1983 p1545]

「特定の場所の位置を示す情報(位置情報)と、それに関連付けられた、その場所またはその場所にある物の属性等の情報(属性情報)とを、一定の基準に従って記号化したうえで、印刷または画面に表示した図や画像」[日本地図センター:地図と測量のQ&A 日本地図センター 2013 p1]

いずれにしても地図は現地そのものではありません。鉄道・道路・街路樹のように目に見えるものから、境界線・地名のように目に見えないものまでを地物といいますが、地物を多くの記号に写しかえたもの、いわば記号の集積が地図ということです。

リルケ(Rainer Maria Rilke 1875〜1926、オーストリアの詩人)は広大なロシアの地図と素朴な民衆が信仰する「神」を結びつけています。「ただ地図を相手に憶えてばかりいるものだから、みなの頭が、すっかりだめになってしまったのです。地図のうえだと、いっさいが、平坦でしょう。だから、だれしも、東西南北の方位記号をさえ書き入れてしまえば、それで事が終わったような気になるのです。ところが、国というものは、地図ではありません。山もあれば、淵もあります。上のほうでも、下のほうでも、なにかと接しているはずなんです。」[リルケ著、谷友幸訳:神さまの話 新潮文庫 1953 p40]

アルメニア2016年発行の切手には紀元前6世紀のバビロニアを中心とした世界で最古といわれる地図が描かれています。イラク南部のシッパル遺跡から出土した12×8センチメートルの粘土板です。切手面ではよくわかりませんが、この地図は北が上になっており、楔形文字(せつけいもじ、メソポタミア文明で使用された古代文字)の説明文が地図の上についています。地図には二重の円が描かれており内円の内部にはバビロンと周辺の小都市やユーフラテス川が描かれ、外円と内円の間が海、外円の外側が想像上の対岸の陸地になっているといわれています。ほかにも、このような地図は古代から世界中で描かれています。[ジェリー・ブロトン、西澤正明訳:世界地図が語る12の歴史物語 バジリコ 2015 p5−8]

2004年に英国で提案されたオープンストリートマップ(OSM Open Street Map)という、だれでも自由に参加して地図を作成する共同作業プロジェクトがあります。公開されている地図のほか独自の調査も含めインターネット上で地図を編集します。2010年頃から日本でも利用が広まりつつあります。

地図投影法

地球の表面を、ひずみがないように描くことは地球儀しかできません。地球儀以外は地図として紙など平面に描かれますが、地球のどの部分もひずみがなく表現することはできません。古代ギリシャでは経緯度線によって表現された地図が描かれています。エラトステネス(Eratosthenes BC275〜BC195)はこのような表現方法で地図をつくっています。またヒッパルコス(Hipparchus BC190頃〜BC120頃)は一年中で最長の昼間時間がひとしい地点は同じ緯線上にあるという考えで緯線を引いたようです。プトレマイオス(Claudius Ptolemaeus 83年頃 〜168年頃)は当時の旅行者などの記録を集めて各地の位置を決め扇のように極地で収斂する子午線と円弧になった緯線をもつ円錐投影の図法により世界図をつくりました。その後、13世紀頃から航海が盛んになり羅針盤がつかわれると地中海を中心に海図が作成されました。ポルトラノ(portolano)と呼ばれ、羅針盤(コンパスローズ)の中心から放射する通常は32本の方位線があるのが特徴です。この頃、羅針盤が考案され航海に用いられたことを表しています。15世紀のコロンブスやマゼランなどの大航海時代になると長距離の目的地まで一層正しい方位を得ることが必要になってきました。そこでメルカトル(Gerardus Mercator 1512〜1594 現ベルギー、本名はクレメルGerard De Kremer)により羅針方位を一定にし、航路が直線になるような航海用地図が考案されました。どの緯度においても各経線の間隔を赤道上と同じにして、赤道から各緯度までの緯線間隔を調整して地球上で測る角度と海図上で測る角度が等しくしたもので、経線、緯線とも平行直線になっており正角図法といわれます。このように近世以降の西欧では地球上で測定された地点の経緯度を数学変換によって平面に移すという投影法が採用されています。この時期、中国では「天円地方」(てんえんちほう)天は円く、地は方形であるという宇宙観が残っており、中国や日本では球面から平面への数学変換という考え方は起こらなかったようです。

回転楕円体の形をした地球の表面を平面に表すと、どのような投影法(図法 projection)をつかっても投影された大陸の形や面積にかならず歪みが生じます。面積、二点間距離、方位や角度などをすべて正確に表現することはできません。地図投影法は地球上の位置を地図上の位置に変換する方法ですが、古くから目的によって、それに適した地図投影法が考案されています。

まず「投影面の形状」による分類としては方位図法(基準点からの方位が正しい図法)、円錐図法(地球に被せた円錐面に投影)、円筒図法などがあり、ついで「投影中心(視点)の位置」による分類として心射図法(地球の中心)、平射図法(投影面と反対の地球表面)、正射図法(投影面に対して無限遠)などがあります。また「仕上がりの地図の性質」による分類として正積図法正角図法正距図法正方位図法などがあります。「正××図法」の「正」は「××」が地球の実態と一致した場合を意味します。たとえば正角図法では地球上で交わる2直線の角度が地図上でも正しく表されます。正距方位図法では地球上の特定の地点からの任意の地点までの距離と方位が地図上で正しくなるように表されます。いずれにしても地球上と地図上の両方で面積、角度、距離、方位のすべてが一致することはありません。

このほか考案した人の名前によりメルカトル図法(経緯線はすべて直線、高緯度では拡大され歪む、正角図法)、ミラー図法(Osborn Maitland Miller 1897〜1979 米)、サンソン図法(Nicolas Sanson 1600〜1667 仏、正積図法、経線が正弦曲線)、モルワイデ図法(Karl Brandan Mollweide 1774〜1825 独、緯線は平行直線、経線は楕円)、グード図法(John Paul Goode 1862〜1932 米)、ランベルト図法(Johann Heinrich Lambert 1728〜1777 独)、ボンヌ図法(Rigobert Bonne 1727〜1795 仏、 心臓の形)、ペータース図法(Arno Peters 1917〜2002 独)などがあります。そしてこれらを組み合わせ正角円筒図法(メルカトル図法のこと)、ランベルト正積円錐図法などと呼びます。これらの図法は地図の利用目的によって選択しなければなりません。

メルカトル図法の地図では、たとえば東京からニューヨークへ直線を引くと太平洋、サンフランシスコを通過するルートになりますが最短距離になる大圏コースではアラスカ北部を通過するルートになります。大圏コースは地球儀(Terrestrial globe)上で2点を結ぶ糸を張るとわかります。地球は回転楕円体ですから地球儀のような球として見た場合の大圏コースとわずか異なり、最短距離はアラスカ北部では大圏コースよりも約7キロメートル北を通ります。

地図を図案にした切手は多数あります。このうち地球全体が描かれ投影法の推測がつくものをここに載せます。個々の切手の説明は高木実さんの著書を参考にしましたがとくに考案者の名前をとった図法にはバリエーションが多く正確を欠くこともあります。[高木実:地図切手の世界 日本交通公社 1981 中表紙のつぎの図]、[高木実:小さな地図への旅 旺文社文庫 1985 中表紙前の図]


地形起伏の表現

地図上で地形の起伏を表すためには、等高線がつかわれますが、かつては「暈おう式」(うんおうしき、「おう」は、「さんずいへん」に「翁」、「うんのうしき」「くんのうしき」とも)といい等高線(図示されないこともあります)に直角に、くさび形の「ケバ」を描き地形の起伏を表しました。急傾斜の所ほど線は太く短くなります。「ケバ」による山地の表現は西欧から伝えられたようですが、江戸時代には柴田収蔵(しばた・しゅうぞう 1820〜1859、柴田は新發田とも表記)や松浦武四郎(1818〜1888)が類似の方法を採用していました。ただし柴田の場合は単に山地を表す記号として用いており、山地の形状を表現したものではなさそうです。近代では1886年(明治19)内務省地理局刊の五千分一東京実測全図があります。「ケバ」による山地表現のはじまりはドイツ、イエナ大学ののゲルステンベルク(Johann Lorenze Julius von Gerstenbergk 1774〜1840)が1804年頃に考案した「山岳描写システム」によります。[石原あえか:近代測量史への旅 法政大学出版局 2015 p107]

「暈おう式」のほか「段彩式」や「暈せん式」(うんせんしき「せん」は、「さんずいへん」に「宣」、「くんせんしき」、ぼかし式とも)があり、江戸時代の地方図に例が見られます。段彩式は一定の高度帯ごとに段階区分して異なった色か同色でも濃淡をつけ彩色する方式で、例として有馬喜惣太(ありま・きそうた 1708〜1769、萩藩)による「一村限明細絵圖」(いっそんきりめいさいえず)があります。暈せん式は地表にたいして一定方向から平行光線を照射したときの地表面の陰影を色の濃淡(ぼかし)で表す方式です。暈せん式に類似する例は、1826年(文政9)以前に小浜藩で作成された下中郡絵図、上中郡絵図、大飯郡絵図があります。これらの3絵図は陰影の濃淡のほか、山地と平地の境界線,稜線と谷線が細い墨線で描かれています。近代では二十万分一帝国図(地勢図の前身)でもつかわれ、地図に陰影をつけ立体的にみせる効果がありました。[大森八四郎:新版地形図の本 国際地学協会 1980 p7]、[木全敬蔵:江戸時代地図の山地表現法「地図」第32巻2号 1994 p1−6]、[小浜市史編纂委員会:小浜市史 絵図地図編 1993 巻頭図版 図8−10、解題 p32−34]

平面直角座標と地図の北

第二次大戦以前は日本の地図は五万分一地形図が基本になっており、投影図法は隣接した経線と隣接した緯線で囲まれた地球表面上の一部分を平面とみなして、心射図法で投影する多面体図法でしたが、1965年(昭和40)ころから国際的な図法であるユニバーサル横メルカトル図法( UTM=Universal Transverse Mercator's Projection System)にあらためました。日本の地形図に使用されているユニバーサル横メルカトル図法はガウス・クリューゲルの等角投影法によるものです。メルカトル図法の投影面は円筒で赤道に接していますが、ユニバーサル横メルカトル図法では地球にたいして円筒を横に置いて地表を投影した図法で、図幅によって円筒に接する中央経線(子午線)が異なります。メルカトル図法は経線が平行直線であり、等角航路が2点間を直線で結ぶだけで表されるため、海図として航路用に使われてきました。もともとメルカトル図法が地球を球と仮定しているのに対しガウス・クリューゲル図法は回転楕円体と仮定しているので高い精度で投影できます。

地球上にある点の水平位置は楕円体上の経緯度によって表されますが、経線は赤道を離れるほど間隔が狭くなり、緯線は地球を回転楕円体で近似する必要があるため、同じ1度間隔であっても緯度によって子午線弧長が異なってきます。しかし位置を楕円体のような曲面でなく平面上に投影して測量計算を行っても範囲が狭い場合には問題はありません。 歪みが一定限度に収まるよう狭い範囲だけ投影を行い、その範囲内だけで用いる平面上の直交座標系を定めれば、直交座標系の利便性を活かすことができます。大縮尺の地図では表示範囲が狭いので、かぎられた地域ごとに地球表面を平面とみなし地表面を平面に投影します。これを平面直角座標系といいます。日本ではガウス・クリューゲルの等角投影法によっているので、座標原点を通る子午線は等長に図形は等角の相似形に投影されます。しかし距離については原点から東西に離れるに従って平面距離が増大していくため投影距離の誤差を相対的に一万分の一以内におさめるよう座標原点に縮尺係数0.9999を与え(東西方向に90キロメートル離れた位置では1.0000、130キロメートルでは1.0001)かつ座標原点より東西130キロメートル以内を適用範囲とした座標系を設けています。

球面距離×縮尺係数=平面距離

になります。

日本の測量法では地表の位置を表示するため、平面直角座標系が制定されており経緯度のかわりに用いることができます。平面直角座標系は全国を19の座標系に区分しています。座標系のX軸は原点で子午線に一致する軸とし真北に向かう値を正とします。Y軸は原点でX軸に直交する軸とし真東に向かう値を正とします。また各座標系原点の値はX=Y=0メートルになっています。これは測量法にもとづく国土交通省の告示できまっています。

たとえば、わたしの住んでいる京都府(大阪府など7府県ともおなじ)であれば座標系番号Yで東経136度0分0秒、北緯36度0分0秒が原点になっています。この位置は福井県の福井市と越前町の境界付近になり、たとえば京都、滋賀府県境の一等三角点「比叡山」の場合、座標はX=−103623.56メートル、Y=−15099.234メートル、縮尺係数=0.999903になります。平面直角座標系の原点は図面上のみ示されるので現場には標石などの目印はありません。しかし例外として長野県南牧村にある[系の原点には地元の基準点が設置されています。

国土地理院の一万分一地形図は5センチメートル(実長500メートルに相当)間隔で方眼(グリッド)が入っています。図郭に表示されたグリッド数値は該当する平面直角座標系原点からの距離がキロメートル単位で表示されています。

国土地理院の二千五百分一国土基本図・都市計画図や地方自治体などで平面直角座標系で作成する大縮尺(二千五百分の一程度)で範囲の狭い地図では左右の図郭線方向が真北とずれてきます。これは「座標北」とか「原点方位の北」、「方眼北」といい平面直角座標の縦軸の線になります。各々の平面直角座標系原点を通過する座標北は真北と一致しますが原点以外の座標では一致しません。座標北は原点の東側では真北に対して右に、西側では左に傾いています。

平面直角座標系は1884年(明治17)から採用されていました。平面直角縦横線と呼ばれ、その原点は東京天文台の位置である東部原点と広島県(安芸國佐伯郡吉和村、現廿日市市)にある一等三角点「冠山」の位置に西部原点があり緯度はどちらもほぼ同じ値で東経135度を境にして東部、西部に分けていました。その後、北海道の夕張岳に北部原点、奄美大島に南部原点、台湾埔里の虎仔山に台湾原点が設定されました。[陸地測量部:陸地測量部沿革誌 1922 p49]、[陸地測量部:三角測量法式草案 1901 p139]、[陸地測量部:一等三角測量實行法 1917 p75−76]

地図で表わされる「北」は「真北」、「磁北」、「方眼北」の3方向があります。「真北」(しんほく・しんぽく)は地球の自転軸の北端(北緯90度地点、北極点)を指す方位です。「磁北」は方位磁石が示す北の向きですが、時間や場所によって異なり磁北の真北からの、ずれた角度を西偏または東偏と数値で著されます。「方眼北」(ほうがんほく・ほうがんぽく)は「座標北」や「原点方位の北」ともよばれ平面直角座標を採用した地図では方眼の縦線の上の方向になります。原点を通る方眼北は真北と合致しますが、それ以外は真北とは合致しません。方眼北は、原点の東側は真北に対し右に、西側は左に傾きます。外国の地図には真北True North、磁北Magnetic North、方眼北Grid Northの三方向を図示し数値を記載したものがあります。

地図の縮尺

地図の縮尺は、たとえば実地の10キロメートルを地図上で1メートルで表した場合、一万分一、1/10,000のように表します。分母の小さいものが大縮尺になります。したがって五万分一より一万分一のほうが大縮尺といえます。おおよそ一万分一より大きい縮尺は大縮尺、十万分一までが中縮尺、さらに小さな縮尺は小縮尺といいます。地図は縮尺によって表現される精度が異なります。道路や鉄道、家屋などは、そのまま縮尺すると見難くなり、また印刷も鮮明にはでません。そこで省略、誇張、記号化が行われることがあります。また総描といい同種のものを、ひとまとめにして描く場合があります。たとえば集落を総描すると、そのなかに描かれた建物は家屋の散在状況を示すだけで、個々の建物を指しているわけではありません。[井上英二:五万分の一地図 中公新書 1966 p41−42]

数値地形図などデジタル化された地図では、縮尺の概念がなくなり、かわりに「地図情報レベル」とよばれ、図郭内データの平均的な総合精度を示す指標になります。たとえば地図情報レベル25000であれば従来の(アナログ)地図のニ万五千分一縮尺の精度があることを意味します。


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